Советуем заглянуть: Модные советы 2018


↑ Вгору

Реферат на тему

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння


читати

Переглянути реферат

зберегти

Скачати реферат

друкувати

Друкувати реферат

Реферат на тему:

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння

1. Відшукуємо розв’язок алгебраїчного рівняння

(1)

Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до
вигляду

(2)

або

(3)

Викладемо спочатку допоміжний результат.

Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній
площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і
достатньо, щоб виконувалась рівність

(4)

тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.

Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені



які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти
рівняння (1):

.

Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність.
Нехай виконується умова (4). Позначимо



знаходимо вираз



:



має корені



які є вершинами рівностороннього трикутника.

є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з
рівнянь



які можна записати у вигляді

(5)

2. Доведемо основний результат.

Теорема 2. Якщо умова не виконується і всі корені рівняння (1) різні, то
рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова (4)
виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).

Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему
рівнянь

(6)

знаходимо:

(7)

дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b



яку можна записати у вигляді

(8)



Ця система рівнянь має розв’язок

(9)

Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння



Дискримінант D цього рівняння



відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).

р

т

ю



:

ю

B

д

:

<

>

@

B

ґ



д

ж



Зауважимо, що з рівнянь



рівняння (1):





Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді
рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему
рівнянь



розв’язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у
вигляді



Приклад 1. Розв’язати кубічне рівняння



Згідно з формулами (7)—(9) знаходимо:



Рівняння виду (2) набирає вигляду



і має розв’язок



Рівняння має дійсний корінь



Приклад 2. Розв’язати рівняння.

.

Знаходимо значення



Рівняння виду (2) набирає вигляду



який визначається з рівнянь





ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —

пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.


© 2013 Alive-inter.net Про сайт Зворотній зв`язок Відмова від відповідальності