Советуем заглянуть: Модные советы 2018


↑ Вгору

Реферат на тему

Основи векторної алгебри


читати

Переглянути реферат

зберегти

Скачати реферат

друкувати

Друкувати реферат

Реферат на тему:

Основи векторної алгебри

Означення й основні властивості векторів

— позначення. Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то такий
вектор називається нульовим.

на рис. 64).



Рис. 64

, с, на рис. 64).

Два вектори називаються рівними, якщо вони спів напрямлені і їхні модулі
рівні.

, зображені на рис. 64, називаються проти направлені.

, якщо k < 0, і такий, що



.



Теорема 2. Від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному.

, що є діагоналлю паралелограма ABCD.



Рис. 65

Зауваження. Від будь-якої точки площини можна відкласти вектор, рівний
даному. Тому для того, щоб скласти два вектори, розташованих довільним
образом, випливає від кінця одного з них відкласти вектор, рівний
іншому, і скористатися правилом трикутника.

(див. рис. 65).

у цій площині можна єдиним образом представити у виді суми:



.



Задача. Нехай у ? АВС точка N лежить на стороні ВС, а точка М — на
стороні АВ, причому BN : ВР =1 : 5; AM : АВ = 1 : 5. Прямі AN і CM
перетинаються в точці О. Знайдемо відносини СО : МС і АО : AN (рис. 66).



Рис. 66



маємо систему рівнянь:





Скалярний добуток векторів, його властивості

Кутом між векторами називається кут між променями, на яких лежать ці
вектори.

називається число, рівне добутку довжин цих векторів, помноженому на
косинус кута між ними:

).

.

Справедливі наступні властивості скалярного добутку’.

;

;

.

З визначення скалярного добутку векторів маємо



Векторний метод ефективно використовується при рішенні геометричних
задач.

ВМ — медіана трикутника (рис. 67). Знайдемо кут між AD і ВМ, якщо АВ =
3, ВР = 4.



Рис. 67







Обчислимо скалярний добуток:



Отже,







Рис. 68





?????

?????

?????

?????

?????Т?Т?????

?Т?Т?????

?Т?Т??

x

°

І

В

Д

?? ?????

?????

?Т?Т?? ?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

??

?????

?????

?????

?????Т?Т??

?????

?????????????AE?? ?????

??-?????

?????

???????Т?Т?????

?Т?Т?????

?????

?????

?????

?????

???J?J???Т?Т??&?????

???????Т?Т?????

?Т?Т??$?????

???????Т?Т??"?????

?????

?????Т?Т?????

??-?????

??+?????

?????

?????Т?Т?????

?????

?????

???J?J???Т?Т??(?????

?????

??3?????

?????

?Т?Т??1?????

???????Т?Т??/?????

?????

?????Т?Т?????

?????

??9?????

??7?????

??5?????

?????

?????

?????

?Т?Т????????

??=?????

?????

?????

???J?J???Т?Т??;?????

??U?????

?????

?????Т?Т?????

?????

?????

?????

???J?J???Т?Т??A?????

??]?????

??\?????

??Z?????

?????

?????

?????Т?Т??X?????

??d?????

??b?????

?????

?Т?Т?????

?????

?????Т?Т??_?????

??j?????

?????

?Т?Т??h?????

?????

?????

???J?J???Т?Т?????

?????

?????Т?Т??f?????

??p?????

?????

?Т?Т?????

?Т?Т??n?????

?????

?????

?????Т?Т??l?????

?????????????????????????u?????

? ?????H?H???????

?Т?Т?????

?Т?Т?????

?????

?????Т?Т??r?????

????????????????????

????????

????????

?????

?????

?????Т?Т???????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H???????

?Т?Т?????

?

?????

?????Т?Т????????

????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H???????

?????

?????Т?Т????????

?? ?????

? ?????H?H??????????

????????

?????

?????

?????Т?Т????????

??§?????

?????

?Т?Т?????

?Т?Т??Y?????

? ?????H?H????F?????

? ?????H?H???????

?????

??°?????

???????Т?Т??®?????

??«?????

?????

?????????

?????

?????Т?Т??©?????

?????

?j¶?????

? ?????H?H??????????

????????

?????

?????Т?Т?????

?????

?????

??1/2?????

?????H?H??????????

?????H?H??????????

?????H?H???????

?????

?????

?Т?Т?????

?jAE?????

? ?????H?H????A?????

? ?????H?H????A?????

? ?????H?H???????

?????

??I?????

? ?????H?H????E?????

? ?????H?H???????

?Т?Т?????

?????

?????Т?Т??E?????

??U?????

?????H?H????U?????

?????H?H????*?????

?????

???J?J???Т?Т?????

??a?????

?????H?H????a?????

?????H?H???????

?????

???J?J???Т?Т??Y?????

?????

??e?????

?????H?H????ae?????

?????H?H???????

?????

???J?J???Т?Т??ae?????

??i?????

?????

???J?J???Т?Т?????

??e?????

?????H?H???????

?????

?????

????????h??o?????

?????

?????Т?Т?????

??o?????

?????H?H???????

?????

???J?J???Т?Т????????

?????

???J?J???Т?Т?????

??y?????

? ?????H?H????u?????

? ?????H?H????u?????

? ?????H?H???????

?????

?????

?????Т?Т?????

?????Т?Т?????

?Т?Т?????

?????

?Т?Т?????

?????

???J?J???Т?Т????????

????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H???????

?????

?????Т?Т????????

???????????????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H???????

?????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H??????????

? ?????H?H???????

?????

????????

? ?????H?H??????????

??????????

?????

?????

?????Т?Т????????

дуже просто:



Тому:



Координати вектора

площини можна єдиним образом представити у виді:





простору можна єдиним чином представити у вигляді:





Властивості координат вектора:

то xa = xb,

ya = yb, za = zb.

то xa = ?xb, ya = ?yb, za = ?zb.

то xc = xa + xb, yc = ya + yb, zc = za + zb.

4) Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних
координат цих векторів:

(1)

5) Модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його
координат:

(2)



Задача. Знайдемо координати точки D і кут між діагоналями паралелограма
ABCD, якщо А(0, 1, –2), В(–1, 0, 3), С(2, 3, –1).

:



Звідси випливає, що х = 3,

у – 1 = 3, z + 2 = –4, тобто х = 3, у = 4, z = –6. Знайдемо тепер
координати діагоналей:



Використовуючи вираження (2) для довжини вектора і (1) для скалярного
добутку векторів через його координати, маємо:



Векторний добуток

що задовольняє умовам:



;

на найменший кут видний проти вартовий стрілки (рис. 69).



Рис. 69

Властивості векторного добутку:

1) Антикомінативність



2) Дистрибутивність



3) Асоціативність множення на скаляр



(4) Умова колінеарності двох векторів



Геометричний зміст векторного добутку

, дорівнює модулю їхнього векторного добутку (рис. 70):





Рис. 70

, дорівнює половині модуля їхнього векторного добутку (рис. 71):

дорівнює половині модуля їхнього векторного добутку (рис. 71):





Рис. 71

Векторний добуток у координатах

, то їхній векторний добуток має координати:



Замість приведеної громіздкої формули зручніше використовувати запис
векторного добутку через визначник:





Задача. Знайдемо площу трикутника з вершинами в точках А(2, –4, 1),
В(–2, 1, 3), C(l, –1, 2). Насамперед введемо вектори, що збігаються с
двома сторонами трикутника АВС:



чи



Обчислимо векторний добуток цих векторів:



Тепер можна знайти площу трикутника АВС:



ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

PAGE 1


















© 2013 Alive-inter.net Про сайт Зворотній зв`язок Відмова від відповідальності