Советуем заглянуть: Модные советы 2018


↑ Вгору

Реферат на тему

Системи лінійних рівнянь, визначники


читати

Переглянути реферат

зберегти

Скачати реферат

друкувати

Друкувати реферат

Реферат на тему:

Системи лінійних рівнянь, визначники

Основні поняття

Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія
систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:

(1.1)

Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з

, то система лінійних рівнянь називається однорідною.

Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, ..., kn,
у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2,
..., xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на
правильні числові рівності.

Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається
несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система
рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і
невизначеною, якщо розв’язків більш як один.

Визначники другого і третього порядків, їх властивості

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і
кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад,
n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:



Визначником другого порядку називається вираз

.

Приклад.

.

Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома
невідомими:



Визначником третього порядку називається вираз:



. (1.2)

Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку
пропонуємо таку схему (правило трикутників):



Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» —
це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі
визначника, і добутки елементів a13, a21, a32 і a12, a23, a31,
розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні
головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками
елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника,
та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні
сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.

Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку
(правило Саррюса).

У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і
другий стовпці:



Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком
«плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній
діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком
«мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на
діагоналях, пара-

лельних їй.

Визначник:

,

рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо
визначника (1.2).

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується
для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів,
то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то
його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

ий має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на
стале число С, то й визначник помножиться на С.

З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка
можна виносити за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна
подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі
двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший
доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а
решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого
рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо
помножені не деяке число.

Мінори та алгебраїчні доповнення

[1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на
перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор
першого порядку — це будь-який елемент визначника.

Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку
такого визначника:

.

.

?‚





-



"

&

,

0

2

4

N

Њ

І

??????І

ґ



є

ј

В

М

О

Р

а

??

??

третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині
другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого
стовпців.

Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок
мінора.

Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор,
який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k
стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го
порядку.

Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині
i1, i2, ..., ik рядків і j1, j2, ..., jk стовпців.

номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна —
то знак «–».

— доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка
і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.

Обчислення визначників

, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка
або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:



(1.3)

Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.3), за якою обчислюють
визначник, є, у свою чергу, мінорами, узятими з відповідними знаками,
тобто визначниками (n–1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го
порядку зводиться до обчислення n визначників (n–1)-го порядку.

Але з формули (1.3) випливає, що за наявності у визначнику нульових
елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.

Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого
порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях
усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. І тоді, розклавши визначник
за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження
визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n–1-го порядку.

Властивість 9. Сума добутків елементів рядка або стовпця визначника n-го

лементів рядка або стовпця визначника n-го
порядку на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка або стовпця
цього самого визначника дорівнює нулю.

Правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

складений із коефіцієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n
невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний
розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

,

— головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при
невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному
визначнику на стовпець вільних членів.

План практичних занять

Обчислення визначників третього порядку.

Обчислення визначників n-го порядку.

Розв’язування систем n рівнянь з n невідомими за правилом Крамера.

Термінологічний словник ключових понять

Транспонування — зміна місцями рядків і стовпців визначника або матриці.

Мінор k-го порядку — визначник, утворений з елементів визначника або
матриці, розміщених на перетині k рядків і k стовпців.

, де i1 i2, ..., ik, j1, j2, ..., jk, — індекси відповідно тих рядків і
тих стовпців, які брали участь в утворенні мінора.



ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.


© 2013 Alive-inter.net Про сайт Зворотній зв`язок Відмова від відповідальності