↑ Вгору

Реферат на тему

Основні поняття теорії ймовірностей



Переглянути реферат



Скачати реферат



Друкувати реферат

Реферат на тему:

Основні поняття теорії ймовірностей

Усі процеси, що відбуваються у природі чи людському суспільстві, є
наслідком взаємодії багатьох факторів. Для того щоб вивчити ці процеси і
надалі керувати ними, необхідно з’ясувати, яку роль у досліджуваному
процесі відіграє кожний фактор окремо. Наприклад, у разі вивчення руху
тіла слід з’ясувати, які сили спричинюють його рух, а які гальмують;
яким чином саме рухоме тіло впливає на ті сили, що діють на нього.
Досліджуючи процес зміни курсу деякої валюти, скажімо гривні, потрібно
з’ясувати вплив багатьох економічних і соціальних факторів як
внутрішніх, так і зовнішніх, що можуть істотно змінювати курс
національної валюти щодо долара, німецької марки і т. ін.

Усі зазначені фактори необхідно подати з допомогою певних кількісних
оцінок, а далі — скористатися відповідними математичними методами. Отже,
щоб мати змогу застосувати математичні методи з метою вивчення взаємодії
тих чи інших факторів, слід уміти виражати дію кожного з них кількісно.

Щоб дістати потрібні числові дані, необхідно провести серію
спостережень. Отже, спостереження є найважливішою ланкою будь-якого
експерименту. Слід, проте, ураховувати, що жодний найретельніше
підготовлений експеримент не дозволяє виокремити саме той фактор, який
для нас головний. Адже в здійснюваному експерименті ми не в змозі
вилучити численні зайві фактори, які нас не цікавлять. Так, вивчаючи
падіння тіла, ми не уникнемо дії на нього сил, зумовлених обертанням
Земної кулі. Коли ж ідеться про хімічні реакції, нам ніколи не
доведеться стикатися з чистими елементами. А досліджуючи вплив на
врожайність тієї чи іншої культури внесеного в ґрунт добрива, ми не
можемо знехтувати впливом інших факторів (опади, середня весняна
температура, економічний стан регіону і т. ін.), які безпосередньо
впливають на остаточний наслідок експерименту — урожайність.

Отже, кожне спостереження дає нам лише наслідок взаємодії основного
фактора, який нас цікавить, з багатьма сторонніми, другорядними. Деякі з
них потрібно й можна враховувати в дослідженнях. Урахування ж решти
факторів або в принципі неможливе, або недоцільне з якихось міркувань.
Тому за реальних умов під час дослідження будь-якого процесу
застосовують метод його формалізації, беручи до уваги лише ті фактори,
які істотно впливають на зазначений процес.

Водночас усі ті фактори, якими експериментатор нехтує, загалом
відбиваються на наслідках експерименту, надаючи їм неоднозначності.

Так настають непередбачені наперед події, котрі називають випадковими.
Випадкові події в масі спостережень підпорядковані, як з’ясували
дослідники, певним характерним лише для них невипадковим законам.

Математична наука, що вивчає закономірності масових подій, називається
теорією ймовірностей.

Науку, що використовує теорію ймовірностей для обробки численних одиниць
інформації як наслідків експерименту, називають математичною
статистикою.

Зауважимо, що нині існує тенденція до появи нових економічних дисциплін,
таких як «Економетрія», «Теорія ризику», «Теорія надійності»,

я», «Теорія ризику», «Теорія надійності»,
«Інформатика» і т. ін., котрі тісно пов’язані з теорією ймовірностей.
Своїм виникненням ці дисципліни завдячують саме теорії ймовірностей.
Отже, теорію ймовірностей можна розглядати як об’єднання певної
кількості різнорідних і доволі розвинених дисциплін, кожна з яких
зокрема і всі вони разом мають стати науковим багажем кожного економічно
освіченого спеціаліста.

Послідовність операцій, виконуваних з додержанням певного комплексу
умов, називають експериментом (дослідом, спробою). Наслідок будь-якого
експерименту називають подією.

Експеримент не обов’язково має виконувати людина. Він може здійснюватися
незалежно від неї, скажімо комп’ютером. Людина в такому разі є
спостерігачем, котрий фіксує наслідок експерименту — подію.

Класифікація подій. Події поділяються на вірогідні, неможливі та
випадкові.

Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного
комплексу умов, певна подія обов’язково настає, то вона називається
вірогідною. Вірогідна подія позначається символом ( («омега»).

Наведемо приклади вірогідних подій.

Приклад 1

1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 (С, набуває стану
кипіння.

2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до
10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в
межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту,
проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи.
Неможлива подія позначається символом ( (порожня множина).

Приклад 2

1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10.
Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією
неможливою.

2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, котра
полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться
колосок пшениці, є неможливою.

Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у
результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії
численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.

Випадкові події позначають символами А, В, С, … або А1, А2, А3,…, Аk;
В1, В2, …, Вn.

Отже, випадкові події пов’язані експериментами, наслідки яких є
неоднозначними.

Приклад 3

1. Монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета
на рівну і тверду підлогу.) Поява герба (цифри) — подія випадкова.

2. Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин
ячменю, то не можна передбачити наперед, скільки зернин проросте. Отже,
подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є
випадковою.

1. Прості та складені випадкові події.

Простір елементарних подій

Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид
математичних моделей — моделі випадкових подій, а не самі такі події.

Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості
досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.

Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту —

ерименту —
застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені
випадкові події, простір елементарних подій.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї
спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою
подією.

Елементарні події позначаються (і (і = 1, 2, 3,…) і в теорії
ймовірностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на
простіші складові.

Приклад 1. Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього
експерименту.

Розв’язання. Можливі такі елементарні випадкові події:

(1 = г (монета випаде гербом);

(2 = ц (монета випаде цифрою).

Приклад 2. Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього
експерименту.

Розв’язання. Триразове підкидання монети — це одна спроба. Елементарними
випадковими подіями будуть:

(1 = ггг (тричі випаде герб);

(2 = ццц (тричі випаде цифра);

(3 = ггц

(4 = гцг (герб випаде двічі);

(5 = цгг

(6 = гцц

(7 = цгц (герб випаде один раз).

(8 = ццг

Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.

. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Визначити
елементарні події цього експерименту — появу пари чисел.

(1 = 1; 1; (5 = 2; 1; (9 = 3; 1;

(2 = 1; 2; (6 = 2; 2; (10 = 3; 2;

(3 = 1; 3; (7 = 2; 3; (11 = 3; 3;

(4 = 1; 4; (8 = 2; 4; (12 = 3; 4.

Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості
(елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими
великими літерами: A, B, C, D, … .

Приклад 4. Задано множину чисел ( = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі
випадкові події: 1) з’явиться число, кратне 2; 2) число кратне 3; 3)
число, кратне 5. Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх
відповідно А, В, С. Тоді А =

= {2, 4, 6, 8, 10, 12}; В = {3, 6, 9, 12}; С = {5, 10,}.

Елементарні випадкові події (і ( A, (j ( B, (k ( C, які належать
відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих
множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із
зазначених подій унаслідок проведення експерименту ((і сприяють появі
події А, (j — події В, (k — події С).

Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками)
відповідає певна множина ( елементарних подій (i, кожна з яких може
відбутися (настати) внаслідок його проведення: (і ( (. Множину називають
простором елементарних подій.

Приклад 5. Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від
1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із
зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього
експерименту (множину ?) і такі випадкові події: 1) А — випаде число,
кратне 2;

2) В — випаде число, кратне 3.

Розв’язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті
експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6.

Отже, ? = (1, 2, 3, 4, 5, 6(; 1) А = (2, 4, 6(; 2) В = (3, 6(.

Приклад 6. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір
елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:

цього експерименту і такі випадкові події:

1) А — герб випаде двічі; 2) В — герб випаде не менш як тричі.

Розв’язання. Шуканий простір елементарних подій:

? = (гггг, гггц, ггцг, гцгг, ццгг, ггцц, гццг, гцгц, цгцг, ццгг, цггц,
гццц, цгцц, ццгц, цццг, цццц(;

1) А = (ггцц, ццгг, гцгц, цгцг, гццг, цггц(;

2) В = (гггг, гггц, ггцг, гцгг, цггг).

Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним.
Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна
перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події
поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної
послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних
подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.

У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не можна
поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число)
простір елементарних подій називають неперервним.

У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були
дискретними.

Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій
дістанемо, розглянувши:

1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготовляє
робітник або верстат-автомат;

2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т.
ін.

Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є
основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично
побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у
теорії ймовірностей при цьому неістотна.

Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого
експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок
описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком
експерименту.

Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня
підмножина множини ( (А ( ().

2. Операції над подіями

В схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.



Рис. 1

В називається об’єднанням цих подій.

В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням
подій А і В.

В називається перерізом цих подій (рис. 2).



Рис. 2

(Віднімання. Різницею двох подій А і В називається така подія

С = А \ В (С = А – В), яка внаслідок експерименту настає з настанням
події А і одночасним ненастанням події В (рис. 3).



Рис. 3

Приклад. Задано множину цілих чисел ? = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15(. Навмання з неї беруть одне число.

Побудувати випадкові події: 1) А — узяте число кратне 2;

2) В — кратне 3.

В; А?В; А \ В.

Розв’язання. 1) А = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14(; 2) В = (3, 6, 9, 12, 15(.

Звідси дістаємо:

(3, 6, 9, 12, 15( = (2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15(;

А?В = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14( ? (3, 6, 9, 12, 15( = (6, 12(;

А \ В = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14( \ (3, 6, 9, 12, 15( = (2, 4, 8, 10,
14(.

Якщо А?В ( (, то випадкові події А і В називають сумісними.

Якщо А?В = (, то такі випадкові події А і В називають несумісними.



= (, то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок

ну групу, а саме: внаслідок
експерименту якась із подій Аі обов’язково настане.

= ? =

= (1, 2, 3, 4, 5, 6(.

Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають
протилежними.

 = (.



Рис. 4

?), для яких визначено операції додавання, множення та віднімання,
підлягають таким законам:

А.

А. Комутативний закон для операцій додавання

С).

? = ?.

? = А.

( = А.

( = (.

= ? \ А.

= (.

= ?.

).

.

.

Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою
несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі
елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок
проведення одного експерименту.

= ?.

Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій
уводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як і
відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.

3. Класичне означення ймовірності

n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n
простору ?:

. (1)

Для неможливої події Р (() = 0 (m = 0);

Для вірогідної події Р (?) = 1 (m = n).

Отже, для довільної випадкової події

. (2)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6
бракованих, а решта — стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь.
Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?

Розв’язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього
експерименту:

n = 15.

Нехай А — подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число
елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює
дев’яти

(m = 9). Згідно з (1) маємо:

.

Приклад 2. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що
на грані кубика з’явиться число, кратне 3?

Розв’язання. Число всіх елементарних подій для цього експерименту n = 6.
Нехай В — поява на грані числа, кратного 3. Число елементарних подій, що
сприяють появі В, дорівнює двом (m = 2).

Отже,

.

Приклад 3. Два гральні кубики підкидають по одному разу. Побудувати
простір елементарних подій — множину ? і такі випадкові події:

А — сума цифр виявиться кратною 4;

В — сума цифр виявиться кратною 3.

В).

Розв’язання. Простір елементарних подій — множину ( запишемо у вигляді
таблиці:

Кубик 2-й Кубик 1-й

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Отже, простір елементарних подій ( містить n = 36 пар чисел.

В, дорівнює одиниці (m3 = 1) (темні клітинки таблиці).

Остаточно дістаємо:

.

Приклад 4. У кожній із трьох урн містяться червоні та сині кульки. Із
кожної урни навмання беруть по одній кульці. Побудувати простір
елементарних подій для цього експерименту — множину ( і такі випадкові
події:

А — серед трьох навмання взятих кульок дві виявляються червоного
кольору;

В).

Розв’язання. Позначимо появу кульки червоного кольору як Ч, а синього
кольору як С. Тоді простір елементарних подій буде такий: = (ЧЧЧ, ЧЧС,
ЧСЧ, СЧЧ, ЧСС, СЧС, ССЧ, ССС(, n = 8.

n = 8.

Події: А = (ЧЧС, ЧСЧ, СЧЧ(, m1 = 3;

В = (ССЧ, СЧС, ЧСС(, m2 = 3.

В = ().

В) = 0.

Приклад 5. В електричну мережу увімкнено чотири електролампочки. При
проходженні електричного струму в мережі кожна електролампочка із певною
ймовірністю може перегоріти або не перегоріти. Побудувати простір
елементарних подій (множину () — числа електролампочок, які не
перегорять, і такі випадкові події:

А — із чотирьох електролампочок перегорять не більш як дві;

В).

— що перегорять. Тоді простір елементарних подій буде:

А

??

?

”яШ

ы

??

m



Ж



(, n = 16.

Випадкові події:

, А1 А2 А3 А4(, m1 = 11.

(, m2 = 11.

(, m3 = 6.

.

4. Елементи комбінаторики

в теорії ймовірностей: переставлення,

розміщення та комбінації

При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір
елементарних подій (множину () можна не завжди.

Для більшості прикладних задач така побудова пов’язана з виконанням
великого обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива. Щоб обчислити
ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із
дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти
обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини () і
число m елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.

Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи
комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці
оперують множинами однотипних елементів.

Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.

Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок
розміщення елементів.

У противному разі множину називають невпорядкованою.

Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані
множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

, (3)

де n набуває лише цілих невід’ємних значень.

, то при n = 1 маємо

1! = 0!

Отже, 0! = 1.

Приклад 1. На кожній із шести однакових карток записано одну з літер

Я, І, Р, Е, О, Т.

Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять
слово

Т Е О Р І Я ?

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій (елементів множини ?)

n = 6! = 6 ( 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 720.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі слова ТЕОРІЯ,

m = 1. Позначивши розглядувану подію через В, дістанемо:

.

Приклад 2. Задано множину цілих чисел ? = (1, 2, 3, 4, 5(. Її елементи
навмання розставляють у рядок. Обчислити ймовірності таких випадкових
подій:

А — розставлені в ряд числа утворюють зростаючу послідовність;

В — спадну послідовність;

С — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому;

D — цифри утворять парне п’ятицифрове число.

Розв’язання. Простір елементарних подій для цього експерименту міститиме
n = 5! = 1 ( 2 ( 3 ( 4 ( 5 = 120 несумісних, рівноймовірних елементарних
подій.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі А, дорівнює одиниці (m1
= 1).

Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює одиниці (m2

них подій, що сприяють появі В, дорівнює одиниці (m2
= 1).

Для випадкової події С m3 = 3!

Для випадкової події D m4 = 4! 2 = 48.

;

.

) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m
елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих
елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

. (4)

.

Приклад 1. Маємо дев’ять однакових за розміром карток, на кожній з яких
записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть чотири
картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому
дістанемо

.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі 1, 9, 7, 3, дорівнює
одиниці (m = 1). Позначимо цю випадкову подію через В. Тоді

.

Приклад 2. У кімнаті перебувають 10 студентів. Яка ймовірність того, що
два і більше студентів не мають спільного дня народження?

.

.

називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б
одним елементом.

Кількість таких множин

. (5)

Приклад 1. У цеху працює 10 верстатів-автоматів, кожний із яких може з
певною ймовірністю перебувати в роботоздатному стані або в стані
поломки. Яка ймовірність того, що під час роботи верстатів-автоматів із
ладу вийдуть три з них?

Розв’язання. Оскільки кожний верстат-автомат може перебувати у двох
несумісних станах — роботоздатному або нероботоздатному, то кількість
усіх елементарних подій множини ? буде n = 210.

Позначимо через А випадкову подію — із ладу вийде три верстати з десяти.
Тоді кількість елементарних подій, що сприяють появі А, буде

.

Отже,

.

Приклад 2. У шухляді міститься 10 одинотипних деталей, 6 із яких є
стандартними, а решта бракованими. Навмання із шухляди беруть чотири
деталі. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А — усі чотири деталі виявляються стандартними;

В — усі чотири деталі виявляються бракованими;

D — із чотирьох деталей виявляються дві стандартними і дві бракованими.

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій множини ?

;

кількість елементарних подій, що сприяють події А:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі D:

.

Обчислимо ймовірності цих подій:

;

;

.

5. Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки

Загалом функції дійсних змінних бувають визначеними не на всій множині
дійсних чисел, а лише на певній її підмножині, яку називають областю
визначення функції.

Імовірність також не завжди можна визначити для будь-яких підмножин
множини ? (простору елементарних подій). Тому доводиться обмежуватися
певним класом підмножин, до якого висуваються вимоги замкненості
відносно операцій додавання, множення та віднімання.

Нехай задано довільний простір елементарних подій — множину ? і ( —
деяка система випадкових подій.

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1. ? ( (.

В ( (, А \ В ( (.

Із тверджень 1 і 2 дістаємо, що O = ? \ ?, а отже, O ( (. Найменшою
системою, яка буде алгеброю подій, є ( = (O, ?). Якщо ? — обмежена
множина, то система ( також буде обмеженою. Якщо множина містить n

о система ( також буде обмеженою. Якщо множина містить n
елементів, то кількість усіх підмножин буде 2n.

Якщо ? є неперервною множиною, то система ( утворюється квадровними
підмножинами множини ?, які також утворюють алгебру подій.

Числова функція Р, що визначена на системі подій (, називається
ймовірностю, якщо:

1. ( є алгеброю подій.

.

3. Р (?) = 1.

В = O), то

. (6)

Для розв’язування задач з нескінченними послідовностями подій, наведені
аксіоми необхідно доповнити аксіомою неперервності.

O, випливає рівність

.

Трійка ((, ?, Р), де ( є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1—5,
називається простором імовірностей.

Приклад 1. Задано множину цілих чисел ? = (1, 2, …, 30(. Навмання з цієї
множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться
кратним 5 або 7?

Розв’язання. Простір ? містить n = 30 елементарних подій.

Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В
у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:

;

;

O.

Згідно з (6) маємо:

.

Приклад 2. Садівник восени посадив 10 саджанців яблуні. Кожний із
саджанців може прийнятись або не прийнятись із певною ймовірністю. Яка
ймовірність того, що з 10 саджанців навесні наступного року приймуться 6
або 2?

Розв’язання. Множина ? містить n = 210 елементарних подій. Нехай А —
випадкова подія, яка полягає в тому, що число саджанців, котрі проросли,
дорівнює 6; В — число саджанців, що проросли, дорівнює 2.

Кількість елементарних подій, які сприяють появі А:

.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

.

В = O, маємо:

.

Приклад 3. У ящику міститься 13 однакових деталей, серед яких 5 є
бракованими, а решта — стандартними. Навмання з ящика беруть чотири
деталі. Яка ймовірність того, що всі чотири деталі виявляться
стандартними або бракованими?



.

Згідно з (6) дістанемо:

.

Наслідки аксіом

1. Якщо випадкові події А1, А2, А3, … Аn є несумісними попарно, то

. (7)

2. Якщо випадкові події А1, А2, А3, … Аn утворюють повну групу, то

. (8)

= ? і аксіом 3, 4 випливає, що



. (9)

O, то

. (10)

Справді:



O). (11)

Оскільки

= O, то



Отже,

.

3. Формула додавання для n сумісних випадкових подій має такий вигляд:

(12)

Наприклад, для трьох сумісних випадкових подій формулу (12) можна
записати так:



. (13)

, то

. (14)

Приклад 1. В урні містяться 30 однакових кульок, які пронумеровані від 1
до 30. Навмання із урни беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що
номер кульки виявиться кратним 3 або 5?

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій множини ? n = 30.

Позначимо через А = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30( (m1 = 10) —

появу кульки з номером, кратним 3, а через В = (5, 10, 15, 20, 25, 30(

(m2 = 6) — появу кульки із номером, кратним 5.

є подіями сумісними.

Згідно з (10) дістанемо

.

Приклад 2. Чотири спортсмени мають виконати норму майстра спорту. Кожний
із них може виконати її із певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що
із чотирьох спортсменів норму майстра спорту виконують не менш як два

иконують не менш як два
спортсмени; не більш як три?

— відповідно випадкові події, що перший, другий, третій та четвертий
спортсмени не виконають норму. Тоді простір елементарних подій для цього
експерименту буде:

(, n = 16.

Випадкові події:

, А1 А2 А3 А4(, m1 = 11;

(, m2 = 15;

(, m3 = 10.

Шукана ймовірність:

.

Приклад 3. Випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і
утворюють повну групу. Знайти Р (А1), Р (А2), Р (А3), Р (А4), коли
відомо, що Р (А1) = 0,2 Р (А2), Р (А2) = 0,8

Р (А3), Р (А3) = 0,5 Р (А4).

Розв’язання. Оскільки випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно
несумісними і утворюють повну групу, то згідно з (8) дістаємо:

.

За умовою задачі знаходимо:

Р (А2) = 0,8 Р (А3) = 0,8 ( 0,5 Р (А4) = 0,4 Р (А4).

Р (А1) = 0,2 Р (А2) = 0,2 ( 0,4 (А4) = 0,08 Р (А4).

Отже,

0,08 Р (А4) + 0,4 Р (А4) + 0,5 Р (А4) + Р (А4) = 1;

;

;

;

.

6. Геометрична ймовірність

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з
обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина ?
(простір елементарних подій) обмежена.

Якщо множина ? є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірності
А (А ( ?) використовується геометрична ймовірність

. (15)

Якщо множина ? вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме
відношенню довжини, якщо ? вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А)
дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.

Приклад 1. По трубопроводу між пунктами А і В перекачують нафту. Яка
ймовірність того, що пошкодження через певний час роботи трубопроводу
станеться на ділянці довжиною 100 м.

(А ( ?).

Згідно з (12) маємо:

.

Приклад 2. Задана множина ? = (0 ( х ( е, 0 ( у ( 1). Яка ймовірність
того, що навмання взяті два числа (х, у) утворять координати точки, яка
влучить в область А = (1( х ( е,

0 ( у ( ln х)?

Розв’язання. Множини ? і А зображені на рис. 5.



Рис. 5

.

7. Статистична ймовірність

На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для
обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних
просторів елементарних подій (множини ?). Для більшості задач, особливо
економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі
використовується статистична ймовірність.

Насамперед уводиться поняття відносної частоти випадкової події W (A).

Відносною частотою випадкової події А W(A) називається відношення
кількості експериментів m, при яких подія А спостерігалася, до загальної
кількості n проведених експериментів:

. (16)

Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується
нерівність

.

Теорія ймовірностей вивчає лише такі випадкові події, в яких
спостерігається стабільність відносних частот, а саме: у разі проведення
k серій експериментів існує така константа Р(А), навколо якої
групуватимуться відносні частоти досліджуваної випадкової події А, тобто
Wі (А). І це групування буде тим ближчим до цієї константи, чим більшим
буде число n експериментів.

На рис. 6 показано, як Wі (А) змінюється зі збільшенням n експериментів.

спериментів.



Рис. 6

, то за ймовірність випадкової події береться одне з чисел Wі або Wі –
1. Ця ймовірність називається статистичною.

ЛІТЕРАТУРА

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное
приложение. — М.: Наука, 1988.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

PAGE 2

PAGE

А А В В

?












© 2013 Alive-inter.net Про сайт Зворотній зв`язок Відмова від відповідальності